| 打开神奇的魔“数”箱！《数学魔法》邀你一同来重新认识数学！ 本书作者将要与你分享毕达哥拉斯、笛卡儿、费马、欧拉、凯莱、牛顿、莱布尼兹的智慧，娓娓道出数、方程式、级数、矩阵、微积分的奥秘。希望本书能让你一窥数学的精美内涵，让你体会数学家感受到的喜悦。 |
| 楔子 第1章 数字是怎么来的？ 第2章 不可思议的古希腊人 第3章 数字要证明什么？ 第4章 薪火相传 第5章 敞开无限的大门 第6章 数与数的神秘关系 第7章 乾坤大挪移 第8章 乐在无穷 第9章 艾萨克·牛顿 第10章 冠冕上的闪烁宝石 第11章 我看数学 致谢 |
| 第1章 数字是怎么来的？ 数字从计数与数目开始，所以若想要了解数学的起源，就必须上溯至最早使用数目的年代——这是最艰难的工作。尽管如此，这样的追溯却能帮助我们明了，数学是否只是人类的次要天性，是否只是一种意外的发明，或者了解到数学确实是人类主要天性的一部分。如果数学的确是我们生而为人的一部分基础，那么我们更该相信数学能够、也应该由社会上各式各样的人来分享，而不是由“大胡子老头儿”独享。 找到计数的起源，就方便我们知道数学的本质，帮助我们认识那股创造出数学的驱动力。人类创造数目的最早动机，是要知道一堆物体有多少，换句话说，就是要知道袋子里有多少鸭蛋可分配给家人、族人要走多少天才能到达下一个饮水井、还有多少天才会昼长夜短、需要多少个箭镞去交换一艘独木舟，等等。在上古初民的日常生活中，知晓该如何决定一堆东西的多少，诚然是一大动力。 要达到这个地步，就需要计数的行为，数学家把这行为称做“一对一映射”(one-to-one mapping)。当我们用手指计数时，是把唯一的一个数字指定(即映射)到特定一根手指，因此当我们计数完了，前面十个数字都分别指定给一根不同的指头。进行这项工作时，次序是很重要的，因为最后喊出的数字必须保证是我们计数物件的总数目，也就是该集合的多少；计数一个集合，就是量度它的多少。 当我们对一组或一堆物体做实物计数时，是在执行上述同样的映射，我们用手指头点算，一面以适当的次序喊出适当的数字。点完时最后喊出的数字，就是我们所要的数目。从这奇妙的计数过程，我们得到了自然数：1，2，3，4，5，…，后面跟着的三个黑点(…)是省略符号，代表可以继续数下去。 发现计数的最早直接证据是两块兽骨，上面显现清晰的成组刻痕，其中一块是大约35000年前一只狒狒的股骨，在非洲列朋波山脉(Lebombo Mountains)发现的。另一块是在捷克发现的狼骨，年代约在33000年前(图1)，发现的地点是一处古人类的宿营地；这块狼骨特别有意思，上面有55条刻痕，每5条为一组，共分成11组。 我们知道，远在33000年前，尚未有耕种活动(农耕大约于10000年前才开始)，也没有城镇，不过他们仍然是我们最近似的祖先——智人，即现代人种，这两块兽骨显示出，我们远古的渔猎采集祖先已经懂得计数了。 计数有可能发生得更早吗？在现代人出现之前，可上溯至130000年前的尼安德塔人(Neanderthal)，他们散布在中东、欧洲，确定不属于现代人，不过他们的脑子比现代人的大，成年尼安德塔人的脑平均体积大约为1500cm3，而我们的脑平均体积约为1300cm3。他们有足够的智能去营建居室、用火、制造精巧器具、用花朵陪葬死者，甚至还举行宗教仪式。那么他们懂得计数吗？我们并不知道，只有等待考古学家来发掘了。 如果尼安德塔人懂得计数，那么计数的发生就要推前到130000年前了。有没有更早的呢？比尼安德塔人早很多的是直立人(Homo erectus)，生存于1500000至300000年前，可能是我们早期的祖先。他们没有现代人或尼安德塔人的脑力，因为他们的脑室介于900立方厘米至1100立方厘米，大约相当于现代黑猩猩(450立方厘米)和人类的中间。可是从他们的各种行为，透露出他们相当聪明：他们已会利用火，又从非洲远徙到欧洲和亚洲；他们能制作细巧的工具，建造居室。同样的问题：他们懂得计数吗？同样的答案：我们不知道，只得仰赖考古学家去发现更多的资料。 计数的引进可能因为新的考古证据而往前推——作如此想并不算离谱；新的发现总会不断迫使我们对人类祖先智能技艺发展的估计，朝向更早的年代修订。 许多学者把直立人描绘成躬着腰、毛茸茸、手持石块和木棒敲打大地的野蛮模样，然而在1994年，德国汉诺威历史保护研究所的提米(Hartmut Thieme)，在汉诺威东方的煤坑里发现了一地窖的矛头，是400000年前的东西，这些矛头做得很精致，可能是一个晚期的直立人磨造成的，显示出直立人不是没有智慧的野蛮人，而有可能是身怀技艺和才能的狩猎者。 现在已有解剖学的证据指出，计数应该属于十分古老的行为，神经学家已经辨明某类行为与大脑的某些特殊部位有关。一般来说，语言能力与左脑有关，这里也是掌管一些如计划、执行连续运作等功能的大本营。在脑部左后方有一个特殊区域，提供我们认知手指和从事一些简单算术的能力。 将认知手指和计算技巧联结在一起，应当不会令人惊讶，因为我们的儿童开始学习计数时，就是把手指与数目关联起来，这两种行为由大脑的同一部位负责，显示出我们极长时间以来，一直使用手指来计数。 如果计数能远远上溯到数十万年之前，而且还经由某种方，式深植于我们脑中，那么计数与数目应该是我们天性的一部分，作为人类，就能计数也懂得数目。如果我们再观察到人们(甚至是一些自以为对数学毫无兴趣的人)从数目引发出多少娱乐工具，这种想法会更为强烈。 我们有许多博弈游戏使用到数目。用扑克牌赌21点，无论如何是一种计数的游戏：我手上的牌加起来的点数，会比庄家更接近21点吗？再补一张不会爆掉吗？掷骰子也是一种计数的游戏，输赢机会的计算相当复杂，但是那些玩家对于他们下的赌注并非常精于计算。你去过赛马场吗？去看看那些赌客像疯子似的计算赔率，以找出下一场马赛的赢家号码。 我们也将数字配合到音乐里面；使用数字来辨别我们的房屋及电话；人们研究各种复杂的指数，来观察股市涨跌。处处都用到数字、计算，及简易的算术。如果我们形容人类为会做工具、会用火的人猿，那么还有一个更确切的形容可以用在我们身上：我们是瞳得计数的人猿。 P12-16 |
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