| 本书从较高的观点介绍线性泛函分析的基本概念，既注意突出重要的基本理论，也精选了在应用中备受关注的若干题材，同时恰当地介绍一些较为深刻的专门成果，全书各章还配备了一定数量的习题，以开阔学生的学术眼界，并深化对泛函分析的思想与方法的理解. |
| 第一章 线性泛函分析基础 § 1.1 拓扑空间 1.1.1 拓扑空间的概念 1.1.2 网 1.1.3 连续映射 1.1.4 距离空间 1.1.5 距离空间的完备性 § 1.2 拓扑线性空间 1.2.1 拓扑线性空间的概念 1.2.2 赋准范线性空间 1.2.3 赋范线性空间 1.2.4 内积空间 § 1.3 紧性 1.3.1 紧集的概念 1.3.2 紧集上的连续映射 1.3.3 zorn 引理 1.3.4 紧空间的乘积空间 1.3.5 stone-weierstrass 定理 1.3.6 距离空间中的列紧集与完全有界集 1.3.7 有限维赋范线性空间的特征 .1.3.8 banach-alaoglu 定理 1.3.9 hilbert 空间单位球的弱紧性 § 1.4 hahn-banach 定理及其几何形式 1.4.1 线性空间上线性泛函的延拓 1.4.2 赋范线性空间上连续线性泛函的延拓 1.4.3 自反空间 1.4.4 凸集的分离性 1.4.5 端点、krein-milman 定理 § 1.5 线性算子基本定理 1.5.1 开映射定理 1.5.2 逆算子定理和范数等价定理 1.5.3 闭图像定理 1.5.4 共鸣定理 1.5.5 应用 1.5.6 点列的收敛性 习题 第二章 谱论 ⅰ:banach空间上的紧算子及fredholm 算子 § 2.1 banach 代数中元素的谱 2.1.1 代数和理想 2.1.2 赋范代数 2.1.3 banach 代数中元素的谱 § 2.2 线性算子的谱 2.2.1 线性算子谱的概念 2.2.2 线性算子谱的分类 2.2.3 近似谱点 2.2.4 共轭算子及共轭算子的谱 § 2.3 紧算子 2.3.1 有限秩算子 2.3.2 紧算子的概念 2.3.3 紧算子的 riesz-schauder 理论 2.3.4 banach 空间的直和分解 2.3.5 紧算子的 riesz-schauder 理论（续） § 2.4 fredholm 算子 2.4.1 fredholm 算子的概念 2.4.2 fredholm 算子的性质 习题 第三章 谱论 ⅱ:hilbert 空间上的正规算子 § 3.1 banach代数的gelfand 表示 3.1.1 可乘线性泛函 3.1.2 gelfand 表示 3.1.3 极大理想空间 § 3.2 cˇ代数 3.2.1 cˇ代数的概念 3.2.2 cˇ代数中的正规元 3.2.3 gelfand-naimark 定理 3.2.4 gns 构造 § 3.3 谱测度和谱积分 3.3.1 投影算子 3.3.2 谱测度与谱积分 3.3.3 谱系 § 3.4 hilbert 空间上正规算子的谱分解 3.4.1 谱定理与函数演算 3.4.2 函数演算的扩充 3.4.3 正规算子的谱分解定理 3.4.4 正规算子的谱 3.4.5 von neumann 代数 习题 第四章 无界算子 § 4.1 对称算子和自伴算子 4.1.1 稠定算子的共轭算子 4.1.2 对称算子与自伴算子的概念 4.1.3 算子的图像 4.1.4 对称算子为自伴算子的条件 4.1.5 cayley 变换 4.1.6 无界函数的谱积分 4.1.7 自伴算子的谱分解定理 § 4.2 对称算子的自伴扩张 4.2.1 闭对称算子的亏指数 4.2.2 正定双线性泛函 4.2.3 半有界算子的 friedrichs 扩张定理 § 4.3 自伴算子的扰动 4.3.1 可闭算子的扰动 4.3.2 自伴算子的扰动 4.3.3 自伴算子在扰动下的谱 § 4.4 无界算子序列的收敛性 4.4.1 预解意义下的收敛性 4.4.2 图意义下的收敛性 习题 第五章 算子半群 § 5.1 向量值函数 5.1.1 向量值函数的连续性 5.1.2 向量值函数的可导性 5.1.3 向量值函数的 riemann 积分 5.1.4 向量值函数的可测性 5.1.5 强可测与弱可测的关系 5.1.6 算子值可测函数 § 5.2 bochner 积分和 pettis 积分 5.2.1 pettis 积分 5.2.2 bochner 积分 5.2.3 bochner 积分的性质 § 5.3 算子半群的概念 5.3.1 算子半群概念的由来 5.3.2 c0类算子半群 5.3.3 算子半群的一些例子 § 5.4 c0类算子半群的表示 5.4.1 c0类算子半群无穷小母元的概念 5.4.2 无穷小母元的预解式 5.4.3 c0类算子半群的表示 § 5.5 无穷小母元的特征 5.5.1 c0类算子半群无穷小母元的特征 5.5.2 标准型c0类算子半群母元的特征 5.5.3 c0类压缩半群母元的特征 5.5.4 hilbert 空间上c0类压缩半群母元的特征 § 5.6 单参数酉算子群、stone 定理 5.6.1 单参数算子群的无穷小母元 5.6.2 stone 定理 5.6.3 stone 定理的应用: bochner 定理 § 5.7 遍历定理 5.7.1 相空间上的保测变换 5.7.2 boltzmann 遍历假设 5.7.3 不可压缩稳定流 5.7.4 遍历定理 5.7.5 变换群的遍历性 习题 第六章 无穷维空间的微分学 § 6.1 映射的微分 6.1.1 g teaux 微分 6.1.2 fr chet 微分 6.1.3 高阶导数 6.1.4 taylor 公式 6.1.5 幂级数 § 6.2 隐函数定理 6.2.1 cp映射与微分同胚 6.2.2 隐函数的存在性 6.2.3 隐函数的可微性 § 6.3 泛函极值 6.3.1 线性方程的解与二次泛函的极小问题 6.3.2 泛函极值的必要条件 6.3.3 泛函极值的存在性:下半弱连续条件 6.3.4 最速下降法 6.3.5 泛函极值的存在性: palais-smale 条件 习题 第七章 拓扑度 § 7.1 brouwer 度 7.1.1 c1类映射的拓扑度（非临界点情形） 7.1.2 3个引理 7.1.3 c1类映射的拓扑度（一般情形） 7.1.4 brouwer 度 7.1.5 brouwer 度的性质 § 7.2 leray-schauder 度 7.2.1 一个例子 7.2.2 全连续映射 7.2.3 leray-schauder 度的定义 7.2.4 leray-schauder 度的性质 § 7.3 不动点定理及其应用 7.3.1 brouwer 不动点定理 7.3.2 schauder 不动点定理 7.3.3 非紧性测度 7.3.4 集压缩映射的不动点 7.3.5 kakutani 不动点定理 7.3.6 应用:代数学基本定理 7.3.7 应用:不变子空间 7.3.8 应用:对策论基本定理 习题 参考文献 |
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