本书原是作者学习整体微分几何和外形式法的一些心得体会，整理后于1998年由原杭州大学出版社出版，拟作数学系高年级本科生的选修课教材。出版后颇受广大读者重视和钟爱，不久书即告罄。 书中不少内容源自著名几何学大师陈省身先生的学术论著和演讲。2001年先生来杭时曾对本书颇加嘉奖，并建议稍增内容，译成英文。但由于作者拖沓，一直未能兑现。不料先生于2004年12月3日突然仙逝，作者悲悼之余，也对此事遗憾万分。作者愿以再版此书敬献先生！ 本版与初版的主要差别是增加了第五章：高维欧氏空间的超曲面。这是三维欧氏空间中曲面论的最直接和最自然的推广，至今还在发展。 |
| 第一章 活动标架法. 1 幺正标架 1．1 幺正标架 1．2 幺正标架的运动方程 2 外微分形式 2．1 外代数 2．2 外微分形式 2．3 外微分 2．4 微分形式的积分 3 可积系统 3．1 e3的结构方程 3．2 frobenius定理 3．3 用活动标架法研究曲面 3．3．1 第一和第二基本形式 3．3．2 主曲率、gauss曲率和平均曲率 3．3．3 曲面论基本定理 第二章 曲线的整体微分几何 1 平面曲线的某些整体性质 1．1 等周不等式 1．2 曲线的旋转指标 .1．2．1 映射的度数 1．2．2 旋转指标定理 1．3 凸闭曲线 2 空间曲线的某些整体性质 2．1 球面上的crofton公式 2．2 空间曲线的全曲率 2．3 空间曲线的全挠率 第三章 e3中曲面的整体微分几何 1 曲面的gauss—bonnet公式 1．1 曲面的整体描述 1．2 gauss—bonnet公式 2 liebmann定理 2．1 球面的刚性 2．2 两个引理 2．3 liebmann定理的证明 3 凸曲面和积分公式 3．1 凸曲面的hadamard定理 3．2 cohn—vossen定理 3．3 minkowski积分公式 4 minkowski问题和christoffel问题的唯一性 4．1 概述 4．2 基本公式 4．3 minkowski问题的唯一性 4．4 christoffel问题的唯一性 5 全平均曲率与willmore猜想 5．1 全平均曲率 5．2 球面的一个特征 5．3 环面的全平均曲率 6 常负曲率曲面和backlund变换 6．1 常负曲率曲面和sg方程 6．2 伪球线汇和焦曲面 6．3 backlund变换 7 hilbert定理 7．1 负曲率曲面上的渐近线网 7．2 常负曲率完备曲面上的整体渐近线网 7．3 定理的证明 8 hartman—nirenberg定理 8．1 预备引理 8．2 定理的证明 9 极小曲面的bernstein定理.. 9．1 共变微分和laplacian 9．2 关于gauss曲率的计算 9．3 极小图的gauss曲率计算 9．4 bernstein定理的证明 10 常平均曲率曲面 10．1 面积的变分 10．2 保体积的变分 10．3 hopf定理 第四章 曲面的内蕴几何学 1 曲面上的向量场 1．1 曲面上的向量场 1．2 曲面上向量场的平行移动 1．3 向量场的奇点 1．4 抽象曲面上的向量场 2 测地线与完备曲面 2．1 测地线 2．2 指数映射exp 2．3 测地线的最短性 2．4 完备性 3 弧长的第一变分 3．1 曲线的变分 3．2 第一变分公式 3．3 第一变分公式的应用 4 弧长的第二变分及jacobi场 4．1 弧长的第二变分公式 4．2 jacobi场 4．3 共轭点 5 曲率与拓扑 5．1 曲率与jacobi场 5．2 gauss曲率非正的曲面 6 闭测地线与基本群 6．1 闭测地线与基本群 6．2 覆盖空间与闭测地线 6．3 紧致闭曲面上的闭测地线 第五章 高维欧氏空间的超曲面 1 基本公式 1．1 超曲面的结构方程和曲率张量 1．2 主曲率与平均曲率 2 积分公式 2．1 minkowski积分公式 2．2 紧致凸超曲面 3 球面的刚性定理 3．1 非负ricci曲率的紧致超曲面 3．2 常数数量曲率的紧致超曲面 4 极小超曲面的bernstein型定理 4．1 关于第二基本形式的一个估计 4．2 稳定性不等式 4．3 bernstein定理的推广 4．4 定理4．4的另一证明 5 常平均曲率的完备超曲面 5．1 常平均曲率图 5．2 常平均曲率超曲面的曲率估计 5．3 具有有限全曲率的常平均曲率超曲面 6 平均曲率流 6．1 平均曲率流方程 6．2 解的短时间存在性 6．3 度量和曲率的发展 6．4 紧致凸超曲面的收缩 附录a 欧氏空间点集拓扑概要 附录b 曲面的拓扑分类 参考文献... |
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