| 本书是非线性偏微分方程（或称非线性数学物理方程）理论的入门书。可供应用数学、应用物理以及非线性科学相关方向的研究生作为教科书和参考书，也可供从事非线性科学研究的科研人员和教师作为参考用书。本书主要介绍有物理背景的一些非线性偏微分方程孤立子解形成的机理，求解这类方程的反散射变换方法，Backlund变换方法，相似约化方法，若干种函数变换方法，以及与非线性偏微分方程可积性有关的一些知识。 |
| 第1章 典型方程及其孤立波解 1.1 历史回顾 1.2 孤立波——非线性会聚和色散现象的巧妙平衡 1.2.1 波动中的非线性会聚现象 1.2.2 波动中的色散 1.2.3 两种效应的平衡——KdV方程的解释 1.3 KdV方程及其孤立波解 1.3.1 KdV方程的导出 1.3.2 KdV方程的孤立波解 1.3.3 广义KdV方程的孤立波解 1.4 非线性Schr6dinger方程与光纤孤立子 1.4.1 非线性Schr6dinger方程的导出 1.4.2 非线性Schr6dinger方程的单孤立波解 1.4.3 非线性Schr6dinger方程行波形式的孤立波解 1.5 非线性Sine-Gordon方程 1.5.1 Josephson效应和非线性Sine-Gordon方程 1.5.2 非线性Sine-Gordon方程的孤立波解 1.5.3 非线性Sine-Gordon方程的呼吸孤立子解 1.6 Burgers方程及其孤立波解 1.6.1 交通模型——Burgers方程的导出 1.6.2 Burgers方程的孤立波解 1.6.3 Hopf-Cole变换 第2章 反演散射方法与多孤立波解 2.1 散射与反散射问题 2.1.1 单孤立子解 2.1.2 双孤立子解 2.2 散射数据随时间的演化 2.3 反散射法解KdV方程的具体过程反演定理的证明 2.4 KdV方程的n孤立子解 2.4.1 单孤立子解 2.4.2 双孤立子解 2.4.3 n孤立子解 2.5 反演散射方法的推广 2.5.1 Lax方程 2.5.2 AKNS方法 2.6 非线性Schrodinger方程的反演散射解法 2.6.1 基本思路 2.6.2 非线性Schrodinger方程Lax对的确定 2.6.3 直接散射问题(本征值问题) 2.6.4 散射数据随时间t的演化 2.6.5 逆散射变换 2.6.6 孤立子解的构造 第3章 Backlund变换 3.1 Backlund变换的定义 3.2 KdV方程的Backlund变换 3.3 Backlund变换与AKNS系统 3.4 非线性叠加公式 3.4.1 KdV方程的非线性叠加公式 3.4.2 Sine-Gordon方程的非线性叠加公式 3.4.3 互换定理的证明 3.5 Backlund变换与反散射变换之间的关系 第4章 可积性与Painleve性质 4.1 概述 4.2 WTC方法 4.3 实例 4.3.1 讨论Burgers方程是否具有Painleve性质 4.3.2 讨论KdV方程的Painleve性质 4.4 变系数非线性偏微分方程的Painleve性质 4.4.1 广义变系数KP方程的Painleve分析和可积性讨论 4.4.2 描述顺流方向可变剪切流动的一类变系数Boussinesq方程的Painleve分析 第5章 相似变换与相似解 5.1 群的概念及其在微分方程中的应用简介 5.1.1 微分方程的不变群 5.1.2 无穷小的延拓变换 5.1.3 微分方程的不变性 5.2 偏微分方程的经典Lie群变换法 5.3 非经典无穷小变换方法 5.4 求相似解的直接方法(CK方法) 第6章 特殊变换法求解非线性偏微分方程 6.1 Hirota双线性方法 6.1.1 Hirota双线性变换的相关概念与性质 6.1.2 Hirota双线性方法的具体步骤 6.2 DarboLIx变换方法 6.2.1 概述 6.2.2 KP方程的Darbotlx变换 6.2.3 Darboux变换的约化及KP方程的孤立子解 6.3 齐次平衡方法 6.3.1 方法概述 6.3.2 用齐次平衡方法求解KdV—Burgers方程 6.3.3 用齐次平衡方法求解非线性方程组 6.4 函数展开方法 6.4.1 tanh函数法 6.4.2 Jacobi椭圆函数展开法 6.4.3 函数展开法的扩展 6.5 首次积分法 6.5.1 首次积分法的基本原理 6.5.2 利用首次积分法求解Fitzhugh-Nagumo方程 6.5.3 Fisher方程的精确解 附录A 椭圆函数与椭圆方程 A1 椭圆函数 A1.1 问题的提出 A1.2 椭圆积分的定义 A1.3 椭圆函数 A1.4 椭圆函数的性质 A2 Jacobi椭圆函数与椭圆方程 附录B 首次积分与一阶偏微分方程 B1 一阶常微分方程组的首次积分 B1.1 首次积分的定义 B1.2 首次积分的性质和存在性 B2 一阶线性偏微分方程的解法 B2.1 一阶线性齐次偏微分方程 B2.2 一阶拟线性偏微分方程 附录C 与波动相关的概念和术语 C1 基本概念 C2 线性波与非线性波 C3 色散波 C4 线性波和非线性波的色散 C4.1 线性波的色散 C4.2 非线性波的色散 附录D 微扰方法简介 附录E 超几何函数与超几何级数 参考文献 |
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