| 本书内容分为两大部分。第一部分（前6章）讲述常微分方程基础理论的原理和方法，这部分的主体内容大致在传统教材的内容框架之内，这样使得本教程与现行的教学有一个较好的衔接，然而在讲授的观点、重心与风格上，却与现行教材有一定迥异。第二部分（第7、8章）讲述现代常微分方程理论的两大主干分支——微分动力系统和常微分算子的基本概念和背景，简略介绍它们的若干内容和新发展，以使读者能一窥常微分方程现代理论的大略。 |
| 第1章 基本概念 1.1 微分方程及其解 1.2 微分方程的物理背景——动力机制的数学模型 1.3 微分方程的定解问题 练习题1 第2章 一阶微分方程 2.1 显方程的初等求解法 练习题2.1 2.2 隐方程的参数解法 2.3 方程的近似解析解 2.4 正交方向场和正交轨线 练习题2.2 第3章 一阶微分方程Cauchy问题的适定性 3.1 Peano定理 3.2 Cauchy-Picard定理 3.3 解的延拓饱和解 3.4 初值与参数的偏差所引起的解的偏差 3.5 奇解——通解族的包络 练习题3 第4章 高阶线性微分方程 4.1 线性齐次微分方程 4.2 Liouville（刘维尔）公式 4.3 非齐次线性微分方程常数变易法 4.4 常系数线性齐次微分方程式 4.5 常系数非齐次线性方程待定系数法 4.6 RLC交流电路 4.7 Euler方程 4.8 二阶微分方程的降阶法 练习题4 第5章 微分方程的级数解 5.1 一阶微分方程的解析解优级数 5.2 常点邻域二阶线性方程的解Legendre多项式 5.3 正则奇点邻域二阶线性方程的解 5.4 Bessel方程和柱函数 练习题5 第6章 常微分方程组 6.1 二维动力系统模型二则 6.2 常微分方程组的基本概念 6.3 线性微分方程组 6.4 常系数线性微分方程组 6.5 矩阵函数e A及其计算 练习题6 第7章 常微分方程特征值问题 7.1 经典Sturrn-Liouville问题及其缘起 7.2 本征值的实值性和本征函数的正交性 7.3 Sturm零点定理与特征值的存在性 7.4 按特征函数系的展开式 第8章 动力系统简介 8.1 引言 8.2 李雅普诺夫稳定性 8.3 平面自治系统的极限环 8.4 混沌简介 练习题答案 |
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