| 第一章 方程的导出及定解问题的提法 1 基本概念 1.1 什么是偏微分方程 1.2 偏微分方程的解 1.3 偏微分方程的阶 1.4 线性偏微分方程 1.5 非线性偏微分方程 习题1-1 2 几个经典方程 2.1 弦振动方程 2.2 膜振动方程 2.3 热传导方程 2.4 拉普拉斯(Laplace)方程 习题1-2 3 定解问题 3.1 定解问题 3.2 三类典型的边界条件 3.3 适定性 习题1-3 第二章 一阶偏微分方程 1 基本概念 1.1 积分曲面 1.2 特征线与全特征线 习题2-1 2 线性齐次偏微分方程 2.1 通解的结构 2.2 初值问题 习题2-2 3 拟线性偏微分方程 3.1 通解的结构 3.2 初值问题 习题2-3 4 完全非线性偏微分方程 习题2-4 第三章 特征理论与方程的分类 1 二阶方程的特征 1.1 两个自变量的情形 1.2 多个自变量的情形 习题3-1 2 二阶方程的分类 2.1 两个自变量的情形 2.2 多个自变量的情形 习题3-2 3 一阶方程组的特征及分类 3.1 两个自变量的情形 3.2 多个自变量的情形 习题3-3 第四章 双曲型方程 1 Duhamel原理 1.1 Cauchy问题 1.2 混合问题 习题4-1 2 一维波动方程 2.1 齐次波动方程的Cauchy问题和特征线法 2.2 D'Alembert公式的物理意义 2.3 D'Alembert公式的几何解释 2.4 依赖区域、决定区域和影响区域 2.5 齐次波动方程的混合问题 2.6 非齐次波动方程的Cauchy问题 习题4-2 3 高维波动方程 3.1 三维齐次波动方程的Cauchy问题 3.2 二维波动方程与降维法 3.3 依赖区域、决定区域和影响区域 3.4 波的传播速度 3.5 Poisson公式的物理意义 3.6 非齐次波动方程的Cauchy问题 习题4-3 4 分离变量法 4.1 齐次波动方程的混合问题 4.2 非齐次波动方程的混合问题 4.3 一般的特征值问题 4.4 二维波动方程的混合问题 4.5 物理意义，驻波法 习题4-4 5 能量积分、惟一性和稳定性 5.1 能量积分 5.2 混合问题解的唯一性 5.3 能量不等式 5.4 Cauchy问题解的唯一性和稳定性 习题4-5 第五章 抛物型方程 1 热传导方程的Cauchy问题 1.1 齐次方程 1.2 非齐次方程 习题5-1 2 热传导方程的混合问题 2.1 半直线上的热传导方程与热的反射 2.2 有限区间上的热传导方程与分离变量法 习题5-2 3 极值原理、最大模估计、惟一性和稳定性 3.1 弱极值原理 3.2 第一边值问题解的最大模估计、惟一性与稳定性 3.3 第二、三边值问题解的最大模估计 3.4 Cauchy问题解的最大模估计 3.5 边值问题的能量估计 习题5-3 第六章 椭圆型方程 1 调和函数 1.1 Green公式 1.2 调和函数与基本解 1.3 和函数的基本性质 习题 6-1 2 Green函数 2.1 Green函数的定义 2.2 Green函数的几个重要性质 习题6-2 3 球上的Dirichlet问题 3.1 Poisson公式 3.2 解的存在性 3.3 哈那克（Harnack）不等式及其应用 习题6-3 4 极值原理、惟一性与稳定性 4.1 极值原理 4.2 第一边值问题解的惟一性和稳定性 4.3 第二边值问题解的惟一性 习题6-4 5 分离变量法 习题6-5 第七章 Fourier变换及其应用 1 Fourier变换及其性质 1.1 Fourier变换 1.2 基本性质 1.3 几个例子 1.4 高维空间的Fourier变换 习题7-1 2 应用 习题7-2 第八章 Cauchy-Kovalevskaya定理和Lewy的反例 1 Cauchy-Kovalevskaya定理 1.1 多重指标 1.2 实解析函数与强函数 1.3 Cauchy-Kovalevskaya定理 习题8-1 2 Lewy的反例 习题8-2 主要参考文献 |
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