| 《应用数值分析》适合工科硕士生、非数学类的理科硕士生和工程硕士生作为一学期课程教材，也可供工学博士生和科学／工程计算工作者参考。 |
| 1 数值分析基础概念／备用数学材料 【基本教学内容】 1.1 关于数值分析 1.2 误差基本概念与误差分析初步 1.2.1 绝对误差／相对误差 1.2.2 有效数字（位数） 1.2.3 截断误差／舍入误差／数据误差 1.2.4 函数计算的误差分析 1.3 病态问题与条件数／数值稳定性 1.3.1 病态问题与条件数 1.3.2 算法数值稳定性 1.4 数值算法设计与实现 【备用数学材料】 1.5 数学分析中的几个重要概念 1.5.1 Taylor（泰勒）公式 1.5.2 大O记号 1.5.3 上确界和下确界 1.5.4 函数序列的一致收敛性 1.6 几种重要矩阵及相关性质 1.6.1 对称正定矩阵 1.6.2 正交矩阵／相似矩阵 1.6.3 初等矩阵与初等变换 1.6.4 矩阵特征值／矩阵谱半径 1.7 线性空间概要 1.7.1 线性空间 1.7.2 范数／赋范线性空间 1.7.3 内积／内积空间 1.8 正交多项式 1.8.1 正交多项式及正交化方法 1.8.2 Legendre（勒让德）多项式 1.8.3 Chebyshev（切比雪夫）多项式（第一类） 1.8.4 其他正交多项式 1.9 向量范数／矩阵范数 1.9.1 向量范数 1.9.2 矩阵范数 1.10 附录：计算机中数的表示和舍入误差 1.10.1 定点表示与定点数 1.10.2 浮点表示与浮点数 1.10.3 单精度与双精度／舍入误差 1.10.4 计算机算术运算规则 习题1 2 函数插值方法 【基本教学内容】 2.1 插值问题的提法／多项式插值的存在惟一性 2.2 Lagrange插值公式 2.2.1 线性插值／二次插值 2.2.2 n次Lagrange插值 2.2.3 余项公式 2.3 带导插值：Hermite插值公式 2.3.1 带导插值的提法 2.3.2 Hermite插值公式及其余项公式 2.3.3 Hermite插值的两种常用情形 问题 3 典线拟／连续函数逼近 4 数值微分／数值积分 4.1.2 数值积分的基本形式 4.1.3 插值型求积公式 4.1.4 代数精度的概念 4.2 Newton一Cotes型求积公式：梯形公式与Simpson公式 4.2.1 Newton一Cotes型公式的一般形式 4.2.2 梯形公式与Simpson公式及其余项 4.2.3 Newton-Cotes型公式的数值稳定性 4.2.4 复化梯形公式与复化Simpson公式 4.2.5 一个典型例子 4.3 GausS型求积公式 4.3.1 Gauss型公式 4.3.2 Gauss-Legendre求积公式 4.3.3 Gauss-Chebyshev求积公式 4.3.4 Gauss型公式的余项、稳定性、收敛性及其他 4.4 数值微分(公式) 4.4.1 基于Taylor展开的数值微分公式 4.4.2 基于插值的数值微分公式 【较深入内容或参考材料】 4.5 外推原理及其在数值微积分中的应用 4.5.1 Richardson外推原理 4.5.2 基于外推算法的数值微分 4.5.3 数值积分的Romberg算法 4.6 自适应Simpson算法 4.7 振荡函数积分／广义积分 4.7.1 振荡函数积分计算 4.7.2 广义积分计算 4.8 重积分计算的基本方法 4.8.1 多重积分化为单重累次积分 4.8.2 重积分复化求积公式 4.8.3 重积分Gauss求积公式 习题4 5 线性代数方程组数值解法——直接法 【基本教学内容】 5.1 线性方程组的一般形式／直接法的基本过程 5.1.1 n阶线性代数方程组的一般形式 5.1.2 上三角方程组与回代过程 5.1.3 下三角方程组与前推过程 5.2 Gauss消去过程／列主元Gauss消去法 5.2.1 Gauss消去过程 5.2.2 顺序Gauss消去法 5.2.3 列主元Gauss消去法 5.2.4 列主元Gauss消去法的计算机算法 5.3 矩阵三角分解：解方程组的直接三角分解法 5.3.1 矩阵三角分解 5.3.2 解方程组的直接三角分解法 5.4 追赶法／平方根法 5.4.1 解三对角方程组的追赶法 5.4.2 对称正定矩阵的Cholesky分解与平方根法 【较深入内容或参考材料】 5.5 Causs-Jordan消去法与求逆矩阵的计算机算法 5.5.1 Gauss-Jordan消去法 5.5.2 求逆矩阵的计算机算法 5.6 改进的平方根法及其计算机算法 5.6.1 改进的平方根法 5.6.2 改进的平方根法的计算机算法 5.7 大型带状矩阵方程组及其解法 5.7.1 大型带状矩阵方程组 5.7.2 直接三角分解法解大型带状矩阵方程组 5.7.3 改进的平方根法解大型对称正定带状方程组 5.8 直接法误差分析 5.8.1 扰动误差分析：条件数与病态方程组 5.8.2 事后误差估计 5.8.3 舍入误差分析 5.8.4 解病态方程组的迭代改善算法 习题5 6 线性代数方程组数值解法——迭代法 【基本教学内容】 6.1 迭代法：基本概念和基本迭代公式 6.2 Jacobi迭代法／Gauss-Seidel迭代法 6.2.1 JacObi迭代公式(格式) 6.2.2 (~~auss-Seidel迭代公式(格式) 6.2.3 Jacobi迭代法与GaussSeidel迭代法 6.2.4 (Gass-Seidel迭代法的计算机算法 6.3 迭代法收敛性理论 6.3.1 收敛性基本定理 6.3.2 其他定理 6.3.3 收敛速度问题 【较深入内容或参考材料】 6.4 超松弛迭代法／块迭代法 6.4.1 逐次超松弛迭代法(SOR) 6.4.2 超松弛迭代法的收敛性 6.4.3 块迭代法 6.5 共轭梯度法 6.5.1 变分原理 6.5.2 最速下降法 6.5.3 共轭梯度法 6.6 广义极小残量法 6.6.1 Galerkin原理 6.6.2 Arnoldi过程 6.6.3 广义极小残量(GMRES)方法 习题6 7 非线性方程与方程组的数值解法 【基本教学内容】 7.1 一元非线性方程求根的基本概念与主要思想 7.1.1 基本概念 7.1.2 求根的主要思想 7.2 二分法(对半法) 7.3 不动点迭代法及其收敛性理论 7.3.1 不动点迭代法 7.3.2 收敛性基本定理 7.3.3 局部收敛性 7.3.4 收敛速度与收敛阶 7.3.5 不动点迭代法的计算机算法 7.4 Newton迭代法 8 矩阵特征值计算 9 常微分方程数值解法 10 偏微分方程的数值方法 习题参考答案 参考文献 |
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