| 本书共十七章，讲述了元函数微积分学；多元函数微积分学；广义积分、无穷级数、傅里叶级数等内容。 |
| 第1章集合.映射与函数 1.1集合 1.1.1集合 1.1.2数集 1.2映射 1.2.1映射的概念 1.2.2映射的复合 1.3函数 1.3.1函数的概念 1.3.2函数的表示 1.3.3函数的运算 1.3.4函数的几何特性 第2章序列极限 2.1序列极限的概念 2.1.1序列 2.1.2序列极限定义 2.2序列极限性质 2.2.1几何性质 2.2.2极限的运算性质 2.3敛散性判定定理及相关结论 2.3.1单调有界原理 2.3.2区间套原理 2.3.3有限覆盖定理 2.3.4致密性定理 2.3.5柯西收敛准则 第3章函数极限与连续 3.1函数极限的定义 3.1.1当x→a时,f(x)→A的定义 3.1.2当x→∞时,f(x)→A的定义 3.1.3左.右极限 3.1.4函数极限的两个等价定义 3.2函数极限性质 3.2.1函数极限的几何性质 3.2.2函数极限的运算性质 3.3两个重要极限 3.3.1limsinx/x 3.3.2lim(1+1/x)x 3.4函数连续与间断 3.4.1函数连续的定义 3.4.2在x0处连续的函数的性质 3.4.3初等函数的连续性 3.4.4间断点的类型 3.5闭区间上连续函数的性质 3.5.1有界性定理.最大(小)值定理 3.5.2介值定理.零点定理 3.5.3一致连续 3.6无穷小(大)量及阶 3.6.1无穷小(大)量定义及性质 3.6.2阶的概念, 第4章微分.导数 4.1微分.导数的定义 4.1.1微分.导数的定义 4.1.2导数的物理.几何意义 4.2微分.导数运算 4.2.1导数.微分的四则运算 4.2.2一阶微分形式不变性(复合函数求导法则) 4.2.3基本初等函数求导公式 4.2.4隐函数求导法 4.2.5参数方程所表示函数的求导法 4.3一阶导数.微分的应用 4.3.1变化率(速度) 4.3.2曲线的切线.法线 4.3.3微分的应用 4.4高阶导数与高阶微分 4.4.1高阶微分.高阶导数的概念 4.4.2高阶微分.高阶导数的运算 4.4.3参数方程.隐函数所表示函数的高阶导数 第5章利用导数研究函数 5.1微分中值定理 5.1.1费马定理.罗尔中值定理 5.1.2拉格朗日中值定理 5.1.3柯西中值定理 5.2洛比达法则 5.2.10/0型 5.2.2∞/∞型不定式 5.2.3其他的不定型 5.3泰勒公式 5.3.1具有佩亚诺余项的泰勒展开式 5.3.2带有拉格朗日余项的泰勒展开式 5.3.3基本初等函数的马克劳林展开式 5.4函数图像分析 5.4.1函数的上升.下降 5.4.2函数的极植.最值 5.4.3函数的凸性与拐点 5.4.4渐近线 5.4.5函数作图 第6章不定积分 6.1不定积分的概念 6.1.1不定积分的定义 6.1.2积分公式 6.1.3不定积分的线性性质 6.2不定积分计算 6.2.1第一变量替换 6.2.2分部积分法 6.2.3两类能用初等函数表示的积分 第7章定积分及其应用 7.1定积分的概念 7.1.1定积分的定义 7.1.2定积分存在的条件 7.1.3几类可积函数 7.2定积分的性质 7.3定积分的计算 7.3.1牛顿—莱布尼茨公式 7.3.2定积分的换元公式 7.3.3定积分的分部积分公式 7.4定积分的应用 7.4.1平面图形的面积 7.4.2曲线的弧长 7.4.3微元法 第8章欧氏空间与多元函数 8.1n维欧氏空间 8.1.1n维欧氏空间 8.1.2Rn中点列的收敛性 8.2Rn中点集的拓扑 8.2.1概念 8.2.2开集与闭集 8.2.3开集与闭集的基本性质 8.3Rn的基本性质 8.3.1完备性 8.3.2聚点原理 8.3.3有限覆盖定理 8.4多元函数与向量函数 8.4.1映射 8.4.2向量值函数 8.4.3多元函数的几何表示 8.5多元函数的极限 8.5.1多元函数的极限 8.5.2向量函数的极限 8.5.3累次极限 8.6多元函数的连续性 8.6.1多元连续函数的概念 8.6.2连续的等价命题 8.6.3连续与紧性 8.6.4连续与连通性 第9章多元函数的微分学 9.1偏导数与全微分的概念 9.1.1偏导数 9.1.2偏导数的求法 9.1.3全微分的定义 9.2复合函数偏导数的链式法则 9.2.1复合函数 9.2.2一阶微分形式的不变性 9.2.3微分的运算法则 9.3高阶偏导数和高阶全微分 9.3.1高阶偏导数 9.3.2高阶全微分 9.4泰勒公式 第10章多元函数微分学的应用 10.1方向导数与梯度 10.1.1引言 10.1.2方向导数 10.1.3梯度 10.2曲线的切线与曲面的切平面 10.2.1参数曲线的切线 10.2.2参数曲面的切平面 10.2.3隐式曲面的切面方程 10.2.4隐式曲线的切线方程 10.3普通极值 10.3.1极值的定义 10.3.2极植的必要条件 10.3.3极值的充分条件 10.3.4二维情形 10.4条件极值问题 10.4.1引言 10.4.2条件极值的必要条件——拉格朗日乘子法 10.4.3条件极值的充分条件 10.5隐函数存在定理 10.5.1提法 10.5.2隐函数存在定理 10.5.3多变量与方程组的情形 10.5.4函数行列式的性质 第11章多元函数的重积分 11.1重积分的概念 11.1.1物理背景 11.1.2几何背景 11.1.3几何形体Ω上的黎曼积分 11.2积分的性质 11.3二重积分的计算 11.3.1化二重积分为累次积分 11.4二重积分的变量替换 11.4.1用极坐标计算二重积分 11.4.2二重积分的一般变量替换 11.5三重积分的计算 11.5.1化三重积分为累次积分 11.5.2三重积分的变量替换 11.5.3柱面坐标 11.5.4球面坐标 第12章曲线积分与曲面积分 12.1第一类型曲线积分 12.1.1线密度与质量 12.1.2第一类曲线积分的定义与计算 12.2第一类曲面积分 12.2.1曲面面积 12.2.2面密度与质量 12.2.3第一类曲面积分的计算 12.3第二类曲线积分 12.3.1功 12.3.2第二类曲线积分的计算 12.4第二类曲面积分 12.4.1双侧曲面 12.4.2流量 12.4.3第二类曲面积分的计算 第13章各种积分间的联系 13.1格林公式 13.2曲线积分和路径的无关性 13.3高斯公式 13.4斯托克司公式 第14章广义积分 14.1无穷区间的广义积分 14.2无穷区间广义积分收敛性判别法 14.3无界函数的广义积分 14.4无界函数积分收敛性的判别法 第15章数值级数 15.1上极限与下极限 15.2无穷级数 15.3正项级数 15.4任意项级数 15.4.1交错级数 15.4.2绝对收敛级数 15.4.3阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 15.5绝对收敛级数与条件收敛级数的性质 15.5.1更序级数 15.5.2级数的乘法 15.6广义积分与级数的关系 第16章函数项级数幂级数 16.1函数项级数的一致收敛 16.1.1函数项级数的概念 16.1.2一致收敛的定义 16.1.3一致收敛级数的性质 16.2幂级数 16.2.1收敛半径 16.2.2幂级数的性质 16.2.3函数的幂级数展开 16.3逼近定理 第17章傅里叶级数 17.1傅里叶级数 17.1.1基本三角函数系 17.1.2傅里叶系数 17.2傅里叶级数的收敛性 17.2.1狄利克雷积分 17.2.2黎曼引理 17.2.3傅里叶级数的收敛性判别法 17.3任意周期的傅里叶展开及其复数形式 |
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